ЗАВДАННЯ ДЛЯ І ЕТАПУ (ШКІЛЬНОГО) ВСЕУКРАЇНСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ (з розв’язками)

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 5 КЛАС (проведення за бажаням учителя)

1. У лютому деякого року 2419200 секунд. Чи високосним був цей рік?

(У високосному році 366 днів, в інших - 365 днів).

Відповідь: рік не високосний.

Розв’язання. Число 2419200 ділиться на 7 (перевіряється безпосередньо). Отже, у лютому 28 днів, а рік - звичайний.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Можливі розв’язання з повним обчисленням. У цьому випадку всі викладки повинні бути в розв’язання, тоді оцінка теж 7 балів. Інакше розв’язання оцінюється в 0 балів. Тільки відповідь - 0 балів.

2. Відновити ребус ВОДА + ВОДА = ЗАВОД (однаковим літерам відповідають однакові цифри, різним літерам - різні цифри).

Відповідь: 8947+ 8947 = 17894.

Розв’язання. Зрозуміло, що З = 1 і А ≠ 0 (інакше А = Д = 0). Підставляючи

А = 2, 3, ..., 9, знаходимо єдиний розв’язок 8947 +8947 = 17894.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Правильна відповідь - 1 бал. Часткові просування або помилки оцінюються в залежності від їх величини та значущості. Якщо перебрано не всі варіанти, оцінка не може бути більшою за 3 балів.

3. Розріжте фігуру по лініях сітки на чотири однакові, що не є прямокутниками.

4.Сума 2010 натуральних чисел - непарне число. Яким числом - парним або непарним - є добуток цих чисел?

Відповідь: парним.

Розв’язання. Якби всі числа були непарними, то їх сума була б парною. Отже, серед цих чисел є парне число. Тоді добуток – парний.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Доведення наявності парного доданку - 3 бали. Будь-яка кількість прикладів - 0 балів. Тільки відповідь - 0 балів.

5. У числі 7 ****** 1 замініть зірочки цифрами так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх цифр дорівнювала 11. Знайдіть всі розв’язання і доведіть, що інших немає

Відповідь: 71371371.

Розв’язання. Нехай перша зірочка х, тоді друга 4 - х, третя - 7, четверта знову х, п'ята 4 - х, шоста 7, сьома - х, і вона дорівнює 1. Значить, х = 1, 4 - х = 3.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 6 КЛАС

1. Чи можна подати число 91 у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких також дорівнює 91?

Відповідь: так.

Розв’язання. Можна взяти числа 13 і 7 та сімдесят одну одиницю. І їх добуток, і їх сума рівні 91.

Коментар. Приклад - 7 балів.

2. Вася склав куб з 27 кубиків, а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики, у яких були пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?

Відповідь: 20.

Розв’язання. З 27 кубиків виходить куб 3 × 3 × 3. Вуглові кубики пофарбовані з трьох сторін (їх 8 штук), кубики, які знаходяться на ребрах, але не в вершинах, пофарбовані з двох сторін (їх 12 штук - по одному на кожному ребрі). Решта кубики пофарбовані з одного боку (знаходяться всередині межі) або не пофарбовані зовсім (центральний кубик). Отже, Петро взяв 8 +12 = 20 кубиків.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал.

3. Петро і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі - два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники?

Відповідь: 60 см.

Розв’язання. Якщо сторони вихідного прямокутника a і b, то у Петра вийшли периметри, рівні 2a+ b = 40, а у Васі - рівні a +2b = 50. Тоді 3a +3b = 40+ 50 = =90. Звідки 2a+ 2b = 60 - периметри вихідних прямокутників.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Якщо складені рівняння - 2 бали.

Відповідь - 1 бал.

4. На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку?

Відповідь: 2, 3, 5, 9, 17, 33 точок.

Розв’язання. Зауважимо, що коли на прямий відмічено k точок, то проміжків між ними буде k - 1, і якщо у кожний такий проміжок поставити по точці, то всього точок стане

k + (k - 1) = 2k - 1. Тому якщо точок стало 2k - 1 = 65, то перед останньою операцією їх було k = 33. Аналогічно знаходимо, що до цього їх було 17, потім - 9, 5, 3 і 2. Процес міг починатися з будь-якого з етапів.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Тільки відповідь - 1 бал. При втраті випадків кількість балів від 2 до 6.

5. На острові, населення якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть, знаходиться науково-дослідний інститут (НДІ). Кожний із його співробітників зробив одного разу дві заяви: а) в інституті немає і десятка людей, що працюють більше від мене; б) принаймні сто осіб в інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що навантаження у всіх працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в НДІ?

Відповідь: 110 осіб.

Розв’язання. Розглянемо співробітника, який працює більше всіх інших. Тоді першою заяві він не збрехав, тобто він - лицар. Але тоді і друга його заява - правда, отже, знайдуться 100 чоловік в інституті, які отримують більше нього. Бачимо, що з одного боку перші 10 співробітників, які працюють більше, ніж інші - лицарі, а решта - брехуни. З іншого боку, 100 співробітників, які отримують більше за інших - брехуни, а решта - лицарі. Тому всього лицарів і брехунів 110.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал. Обчислення кількості лицарів або кількості брехунів - 3 бали.