Разноцветная математика

 Продолжаем новогоднее баловство с теорией групп и треугольником Паскаля.

Предыдущий опыт с группой Z₂ подарил нам ряд неплохих картинок (https://www.facebook.com/groups/393624307699994/permalink/932424980486588/). Давайте добавим ещё один цвет к нашей ёлке, например, красный, и попробуем составить группу из трёх цветов: белого, зелёного и красного.

Нейтральным опять выберем белый цвет. Напомню, что по правилам игры в группах нейтральный элемент единственный, и каждый элемент имеет обратный (такой, что в сумме они дают нейтральный). Эти требования приводят к тому, что в каждом ряду и в каждом столбце таблицы Кэйли (таблицы сложения) должны встретиться все элементы и строго по одному разу. Если бы в каком-то ряду 𝑎 какой-то элемент встретился дважды, скажем, в столбцах 𝑏 и 𝑐, то это привело бы к соотношению: 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐. Ели мы к обеим частям этого равенства добавим справа элемент, обратный 𝑎, мы придём к выводу, что 𝑏 = 𝑐, то есть одинаковые элементы в ряду модут появиться только в одинаковых столбцах. То есть, в каждом ряду все элементы должны быть уникальными, а значит, составляя таблицу Кэйли для конечной группы, мы играем в судоку!

Первый ряд и первый столбец у нас получается автоматически — белый цвет нейтральный:

+ ⬜🟩🟥
⬜⬜🟩🟥
🟩🟩
🟥🟥

Может ли 🟩 + 🟩 = ⬜? Нет, поскольку в таком случае 🟥 + 🟩 = 🟥, а в третьем ряду 🟥 уже присутсвует. Значит, 🟩 + 🟩 = 🟥 и наша таблица однозначно достраивается так:

+ ⬜🟩🟥
⬜⬜🟩🟥
🟩🟩🟥⬜
🟥🟥⬜🟩

Обратите внимание на то, что все ряды в этой таблице получаются циклическим сдвигом первого ряда. Через три таких сдвига мы приходим и исходному первому ряду. Такие группы называются циклическими и у них есть замечательное свойство: все элементы такой группы можно получить из любого ненулевого элемента. В нашем случае:

🟩 = 🟩
🟥 = 🟩 + 🟩
⬜ = 🟩 + 🟩 + 🟩

или

🟥 = 🟥
🟩 = 🟥 + 🟥
⬜ = 🟥 + 🟥 + 🟥

Кроме того, таблицы для всех циклических групп симметричны относительно главной диагонали, а значит, сумма в них не зависит от порядка слагаемых. Такие группы называют абелевыми. Группа из двух элементов Z₂ тоже циклическая и, соответственно, абелева.

Построенная нами группа обозначается Z₃. Она проявляется там, где троекратное повторение какой-либо операции приводит исходному состоянию системы. Поищите, где встречаются её представления?

Пора простроить треугольник Паскаля для нашей циклической группы из трёх элементов. Его можно строить начиная с красного или с зелёного цветов. Чтобы было веселей, я построил оба этих треугольника, а потом совместил их сторонами. Получившийся сектор можно повторить ещё два раза, так что получается разноцветная снежинка. Кстати, симметрия моей снежинки Паскаля описывается именно циклической группой Z₃ с операцией поворота на 120°.

В нашей снежинке Паскаля тоже наблюдается самоподобная структура и в нём тоже образуются королевские треугольники, но каждый из них повторяется уже трижды.